Algorithme de seuil et équations

Les algorithmes de seuil peuvent être employés pour obtenir des valeurs approchées des solutions d'une équation dont on ne sait pas trouver de valeurs exactes.

On souhaite résoudre sur \([0~;1]\) l'équation \(f(x)=1\) où \(f\) est la fonction définie par : \(f(x)=x^3-x^2+3x\).
On admettra que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l'intervalle \([0\,;1]\) et que l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution sur \([0\,;1]\).
Considérons le programme suivant écrit en langage Python.

1. a. Recopier et compléter le tableau suivant qui retrace l’exécution pas à pas de ce programme.
\(\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline\text{Étape} & \text{Variable }\texttt{a} & \text{Valeur de }\texttt{f(a)} & \texttt{f(a)}<1 \\\hline\text{Initialisation} & & & \\ \hline\text{Itération n°1} & & & \\ \hline\text{Itération n°2} & & & \\ \hline\text{...} & & \end{array}\)

     b. À quoi correspondent les deux valeurs affichées par ce programme ?
2. Modifier le code pour obtenir un encadrement d'amplitude \(0{,}001\) de la solution de l'équation \(f(x)=1\).
3. On souhaite résoudre sur \([1~;3]\) l'équation \(g(x)=3\) où \(g\) est la fonction définie par : \(g(x)=x^3-6x^2+9x\).
On admettra que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur l'intervalle \([1\,;3]\) et que l'équation \(g(x)=3\) admet une unique solution sur \([1\,;3]\).
Sur le même modèle, écrire un programme en langage Python qui donne un encadrement d'amplitude \(0{,}01\) de la solution de cette équation.